Les matemàtiques tenen una característica poc compatible amb les bones intencions, fan exactament el que els diem que facin.

Això és especialment important quan una política pública es converteix en una fórmula. Podem tenir un objectiu perfectament raonable —ajudar les famílies que suporten un esforç excessiu per pagar l'habitatge— i, tanmateix, introduir efectes inesperats simplement per la manera com definim els trams, els percentatges i els llindars.

El decret 359/2026, que regula el nou Programa d'ajuts temporals per afavorir l'habitatge assequible, n'ofereix un exemple interessant.

La idea general és senzilla. Si una família ha de dedicar al lloguer una proporció massa elevada dels seus ingressos, l'Administració assumeix una part d'aquest sobrecost. El percentatge que es considera assumible augmenta amb els ingressos: 30%, 31,5%, 33%, 34,5% i 36%, segons el tram corresponent.

Però no és el mateix viure sol amb 5.000 euros mensuals que mantenir quatre persones amb aquests mateixos ingressos. Per tenir-ho en compte, el decret introdueix la renda equivalent que resulta de dividir els ingressos per un coeficient.

La primera persona de 14 anys o més compta 1; cada persona addicional de 14 anys o més, 0,5; i cada menor de 14 anys, 0,3. Imaginem una parella amb dos fills, un dels quals té menys de 14 anys. El coeficient és 2,3 (1 + 0,5 + 0,5 + 0,3). Si aquesta família ingressa 5.000 euros mensuals, la seva renda equivalent és 2.173,91 € (5.000 / 2,3).

Aquesta xifra serveix per situar la família en el tram d'esforç corresponent. Suposem, per fer els càlculs, que el salari  interprofessional (SMI) del 2027 fos de 1.650 euros mensuals (és només  una hipòtesi de treball).

La renda equivalent de la família representa aproximadament 1,32 salaris mínims. Per tant, correspondria un esforç màxim del 30% que aplicat als 5.000 euros d'ingressos familiars serien 1.500 € (30% de 5.000).

Si paga 2.000 euros de lloguer, l'ajut teòric seria de 500 euros mensuals, abans de considerar els altres requisits i topalls del programa. Fins aquí, la fórmula sembla prou intuïtiva.

Un cèntim a cada costat

Les coses es tornen més interessants quan ens acostem als límits. El decret estableix que poden accedir al programa les unitats familiars amb uns ingressos bruts anuals superiors a 1,2 vegades i fins a un màxim de 3,5 vegades l’SMI.

Amb un SMI hipotètic de 1.650 euros mensuals, 3,5 vegades SMI representa 69.300 €/any (1.650 × 12 × 3,5).

Tornem a la nostra parella amb dos fills i suposem que ingressa exactament aquesta quantitat, la seva renda equivalent seria 30.130,43 € anuals (69.300 / 2,3), és a dir, 2.510,87 euros mensuals.

Això representa aproximadament 1,52 SMI i situa la família en el tram d'esforç del 31,5%, que aplicat als ingressos familiars representa 21.828,50 €/any (35% de 69.300) equivalent a 1.819,13 €/mes.

Si el lloguer és de 2.000 euros per un pis de 200 m2 a Andorra la Vella, l'ajut teòric seria de 180,88 €/mes (2.000-1.819,13), essent 1.819,13 el màxim que es pot rebre d’ajut per aquest habitatge. Això representa uns  2.170 euros anuals.

Ara afegim un cèntim als ingressos anuals, 69.300,01 euros. La situació econòmica de la família és exactament la mateixa, però la fórmula ja no veu el mateix.

Amb 69.300 euros es troba just al límit màxim de 3,5 SMI i amb 69.300,01 euros el supera. Si la literalitat del requisit s'aplica d'aquesta manera, el resultat és sorprenent:

69.300,00 euros anuals → aproximadament 2.170 euros anuals d'ajut.

69.300,01 euros anuals → 0 euros d'ajut.

Un cèntim més d'ingressos podria significar perdre més de dos mil euros anuals.

Matemàticament això és una discontinuïtat. En l'àmbit de les prestacions socials també es parla d'un efecte penya-segat, ja que la situació evoluciona gradualment fins que arribem a un determinat punt i, de sobte, el resultat fa un salt al buit.

Penya-segats més petits

El límit màxim no és l'únic lloc on apareixen discontinuïtats, també n'hi ha entre els diferents percentatges d'esforç.

Amb el mateix salari mínim hipotètic de 1.650 euros, 1,5 SMI són 2.475 euros de renda equivalent. Just abans d'aquest punt s'aplica un esforç del 30% i just després, del 31,5%.

Una variació mínima dels ingressos pot provocar, doncs, un canvi sobtat del percentatge aplicable. El mateix passa quan passem del 31,5% al 33%, del 33% al 34,5% i del 34,5% al 36%.

No és necessàriament un error. Qualsevol sistema basat en trams necessita fronteres, però és important saber què passa quan les travessem i comprovar-ho és extraordinàriament fàcil,  només cal calcular el resultat just abans del llindar i tornar-lo a calcular afegint-hi un cèntim.

Es pot evitar?

Hi ha alternatives matemàtiques. En lloc d'establir percentatges constants per trams, es podria definir una funció contínua que fes augmentar progressivament l'esforç a mesura que augmenten els ingressos.

El mateix principi es podria aplicar al límit superior. En lloc de passar d'una prestació positiva a zero en superar un determinat ingrés, l'ajut podria anar disminuint gradualment fins a desaparèixer.

D'aquesta manera es podria mantenir l'objectiu de concentrar els ajuts en determinats nivells de renda sense crear situacions en què un petit augment salarial provoqui una pèrdua superior al mateix increment d'ingressos.

Quan una política es converteix en una fórmula

El debat sobre els ajuts a l'habitatge és polític, social i pressupostari. Cal decidir qui ha de rebre ajuda, amb quins requisits i fins a quin import, però una vegada preses aquestes decisions arriba una fase menys visible: convertir-les en matemàtiques.

I aquí un signe «més gran que», un percentatge, un coeficient d'equivalència o la decisió d'utilitzar trams discrets poden modificar substancialment el resultat.

Per això, abans d'aprovar una norma que contingui fórmules econòmiques, potser convindria sotmetre-la a una petita prova d'estrès matemàtica, i no fa falta un superordinador, de vegades n'hi ha prou amb una calculadora i una pregunta molt simple, què passa si afegim un cèntim?

Perquè les fórmules en una norma no són un simple detall tècnic. Determinen qui rep un ajut, quant rep i què passa quan els ingressos d'una família augmenten o disminueixen.

Una bona política pública necessita bons objectius, però també necessita que, quan aquests objectius es converteixen en una fórmula, els números quadrin a banda i banda de cada tram.